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(精校版)2019年天津卷理数高考试题文档版(有答案)
所属科目:高考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/6/26  
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件、互斥,那么.
·如果事件、相互独立,那么.
·圆柱的体积公式,其中表示圆柱的底面面积,表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则
A. B. C. D.
2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A.2 B.3 C.5 D.6
3.设,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出的值为

A.5 B.8 C.24 D.29
5.已知抛物线的焦点为,准线为,若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点,且(为原点),则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6.已知,,,则的大小关系为
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A. B. C. D.
8.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.是虚数单位,则的值为_____________.
10.的展开式中的常数项为_____________.
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_____________.
12.设,直线和圆(为参数)相切,则的值为_____________.
13.设,则的最小值为_____________.
14.在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则_____________.
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
16.(本小题满分13分)
设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.
17.(本小题满分13分)
如图,平面,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求线段的长.

18.(本小题满分13分)
设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上.若(为原点),且,求直线的斜率.
19.(本小题满分14分)
设是等差数列,是等比数列.已知.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足其中.
(i)求数列的通项公式;
(ii)求.
20.(本小题满分14分)
设函数为的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)设为函数在区间内的零点,其中,证明.
















绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)参考解答
一、选择题
1.【答案】D
【分析】先求,再求。
【详解】因为,所以.故选D。
【点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.
2.【答案】D
【分析】画出可行域,用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距,故目标函数在点处取得最大值。
由,得,所以。故选C。

【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.
3.【答案】B
【分析】分别求出两不等式的解集,根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式,可知 推不出;由能推出,
故“”是“”的必要不充分条件,故选B。
【点睛】本题考查充分必要条件,解题关键是化简不等式,由集合的关系来判断条件。
4.【答案】B
【分析】根据程序框图,逐步写出运算结果。
【详解】,
结束循环,故输出。故选B。
【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体.
5.【答案】D
【分析】只需把用表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】抛物线的准线的方程为,双曲线的渐近线方程为,
则有,∴,,,∴.故选D。
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB的长度。
6.【答案】A
【分析】利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】,,,故,所以。故选A。
【点睛】本题考查大小比较问题,关键选择中间量和函数的单调性进行比较。
7.【答案】C
【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可。
【详解】因为为奇函数,∴;
又,,又,∴,故选C。
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数。
8.【答案】C
【分析】先判断时,在上恒成立;若在上恒成立,转化为在上恒成立。
【详解】∵,即,
(1)当时,,
当时,,故当时,在上恒成立;
若上恒成立,即在上恒成立,
令,则,当函数单增,当函数单减,
故,所以。当时,在上恒成立;
综上可知,的取值范围是,故选C。
【点睛】本题考查分段函数的最值问题,关键利用求导的方法研究函数的单调性,进行综合分析。
二.填空题
9.【答案】
【分析】先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】。
【点睛】本题考查了复数模的运算,是基础题.
10.【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项,根据方程思想得出的值,再求出其常数项。
【详解】,由,得,
所以的常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理的应用,牢记常数项是由指数幂为0求得的。
11.【答案】.
【分析】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为,借助勾股定理,可知四棱锥的高为,.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,故圆柱的高为,一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,圆柱的底面半径为,故圆柱的体积为。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
12.【答案】
【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标,再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程,解之解得。
【详解】圆化为普通方程为,
圆心坐标为,圆的半径为,由直线与圆相切,则有,解得。
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法,但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。
13.【答案】
分析】把分子展开化为,再利用基本不等式求最值。
【详解】

当且仅当,即时成立,故所求的最小值为。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14. 【答案】.
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。
【详解】建立如图所示的直角坐标系,则,。
因为∥,,所以,
因为,所以,
所以直线的斜率为,其方程为,
直线的斜率为,其方程为。
由得,,
所以。所以

【点睛】平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
三.解答题
15. 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系,然后利用余弦定理可得的值;(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值,然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中,由正弦定理得,
又由,得,即.
又因为,得到,.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
从而,.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
16.【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布,结合二项分布的公式求得概率可得分布列,然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可;
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故,从面.
所以,随机变量的分布列为:

0
1
2
3







随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,则.
且.
由题意知事件与互斥,
且事件与,事件与均相互独立,
从而由(Ⅰ)知:

.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
17.【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行;
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量,然后求解线面角的正弦值即可;
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量,然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程,解方程可得CF的长度.
【详解】依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),

可得.
设,则.
(Ⅰ)依题意,是平面ADE的法向量,
又,可得,
又因为直线平面,所以平面.
(Ⅱ)依题意,,
设为平面BDE的法向量,则,即,
不妨令z=1,可得,
因此有.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量,则,即.
不妨令y=1,可得.
由题意,有,解得.
经检验,符合题意?所以,线段的长为.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程,解方程可得椭圆方程;
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标,从而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式,最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程,解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得,b=2,c=1.所以,椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意,设.设直线的斜率为,
又,则直线的方程为,与椭圆方程联立,
整理得,可得,
代入得,
进而直线的斜率,在中,令,得.
由题意得,所以直线的斜率为.由,得,
化简得,从而.所以,直线的斜率为或.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质?直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
19.【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差,然后确定数列的通项公式即可;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式,结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形,结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
依题意得,解得,
故,.
所以,的通项公式为,的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以,数列的通项公式为.
(ii)


.
【点睛】本题主要考查等差数列?等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
20.【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式,然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间;
(Ⅱ)构造函数,结合(Ⅰ)结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论;
(Ⅲ)令,结合(Ⅰ),(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.
【详解】(Ⅰ)由已知,有.
当时,有,得,则单调递减;
当时,有,得,则单调递增.所以,的单调递增区间为,
的单调递减区间为.
(Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有:,
从而.当时,,故
.
因此,在区间上单调递减,进而.
所以,当时,.
(Ⅲ)依题意,,即.
记,则.
且.
由及(Ⅰ)得.
由(Ⅱ)知,当时,,所以在上为减函数,
因此.
又由(Ⅱ)知,故:
.
所以.
【点睛】本题主要考查导数的运算?不等式证明?运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力?综合分析问题和解决问题的能力.
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