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(精校版)2019年天津卷文数高考试题文档版(有答案)
所属科目:高考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/6/26  
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么.
·圆柱的体积公式,其中表示圆柱的底面面积,表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.
一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合,则
(A){2} (B){2,3} (C){-1,2,3} (D){1,2,3,4}
(2)设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为
(A)2 (B)3 (C)5 (D)6
(3)设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为

(A)5 (B)8 (C)24 (D)29
(5)已知,则a,b,c的大小关系为
(A) (B)
(c) (D)
(6)已知抛物线的焦点为F,准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B,且(O为原点),则双曲线的离心率为
(A) (B) (C)2 (D)
(7)已知函数是奇函数,且的最小正周期为π,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若,则
(A)-2 (B) (C) (D)2
(8)已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)i是虚数单位,则的值为__________.
(10)设,使不等式成立的x的取值范围为__________.
(11)曲线在点处的切线方程为__________.
(12)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________.
(13)设,则的最小值为__________.
(14)在四边形中,,点E在线段的延长线上,且,则__________.
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F

子女教育
○
○

○

○

继续教育


○

○
○

大病医疗



○



住房贷款利息
○
○


○
○

住房租金


○




赡养老人
○
○



○

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
(16)(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,为等边三角形,平面平面,.

(Ⅰ)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求直线AD与平面所成角的正弦值.
(18)(本小题满分13分)
设是等差数列,是等比数列,公比大于0,已知.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足求.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知(O为原点).
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且,求椭圆的方程.
(20)(本小题满分14分)
设函数,其中.
(Ⅰ)若a≤0,讨论的单调性;
(Ⅱ)若,
(i)证明恰有两个零点;
(ii)设为的极值点,为的零点,且,证明.





绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(文史类)参考解答
一、选择题
1.【答案】D
【分析】先求,再求。
【详解】因为,所以.故选D。
【点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.
2.【答案】D
【分析】画出可行域,用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线在轴上的截距,故目标函数在点处取得最大值。
由,得,所以。故选C。

【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.
3.【答案】B
【分析】求出的解集,根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于,故推不出;由能推出。故“”是“”的必要不充分条件。故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法:
(1)定义法:根据p?q,q?p进行判断;
(2)集合法:根据由p,q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断;
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
4.【答案】B
【分析】根据程序框图,逐步写出运算结果。
【详解】,结束循环,故输出故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意:①要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构,根据各自的特点执行循环体;②要明确图中的累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化;③要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体.
5.【答案】A
【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】;;。
故。故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。
6.【答案】D
【分析】只需把用表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】的方程为,双曲线的渐近线方程为,故得,
所以,,,所以。故选D。
【点睛】双曲线的离心率.
7.【答案】C
【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可。
【详解】为奇函数,可知,
由可得;
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,得,
由的最小正周期为可得,由,可得,
所以,。故选C。
8.【答案】D
分析】画出图象及直线,借助图象分析。
【详解】如图,当直线位于点及其上方且位于点及其下方,
或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。
即,即,或者,得,,即,得,所以的取值范围是。故选D。

【点睛】根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法。
二、填空题
9.【答案】
【分析】先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一:。
解法二:。
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
10. 【答案】
【分析】通过因式分解,解不等式。
【详解】,即,即,故的取值范围是。
【点睛】解一元二次不等式的步骤:(1)将二次项系数化为正数;(2)解相应的一元二次方程;(3)根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图;(4)写出不等式的解集.容易出现的错误有:①未将二次项系数化正,对应错标准形式;②解方程出错;③结果未按要求写成集合.
11. 【答案】
【分析】利用导数值确定切线斜率,再用点斜式写出切线方程。
【详解】,当时其值为,故所求的切线方程为,即。
【点睛】曲线切线方程的求法:
(1)以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f′(x);
②求切线的斜率f′(x0);
③写出切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化简.
(2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程.
12.【答案】.
【分析】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为,故圆柱的高为,圆柱的底面半径为,
故其体积为。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
13. 【答案】
14. 【答案】.
【分析】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】详解:解法一:如图,过点作的平行线交于,
因为,故四边形为菱形。
因为,,所以,即.
因为,
所以
.

解法二:建立如图所示的直角坐标系,则,。
因为∥,,所以,
因为,所以,
所以直线的斜率为,其方程为,
直线的斜率为,其方程为。
由得,,所以。
所以。

【点睛】平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
三.解答题
15.【分析】(I)根据题中所给的老、中、青员工人数,求得人数比,利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的,结合样本容量求得结果;
(II)(I)根据6人中随机抽取2人,将所有的结果一一列出;
(ii)根据题意,找出满足条件的基本事件,利用公式求得概率.
【详解】(I)由已知,老、中、青员工人数之比为,
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工,
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(II)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种;
(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为,,,,共11种,所以,时间M发生的概率.
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
16. 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系,然后利用余弦定理可得的值;(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值,然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中,由正弦定理得,
又由,得,即.
又因为,得到,.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
从而,.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
17. 【分析】(I)连接,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到,利用线面平行的判定定理证得结果;
(II)取棱的中点,连接,依题意,得,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到,利用线面垂直的判定定理证得结果;
(III)利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角,放在直角三角形中求得结果.
【详解】(I)证明:连接,易知,,

又由,故,又因为平面,平面,
所以平面.
(II)证明:取棱的中点,连接,依题意,得,
又因为平面平面,平面平面,
所以平面,又平面,故,
又已知,,所以平面.
(III)解:连接,由(II)中平面,
可知为直线与平面所成的角.
因为为等边三角形,且为的中点,
所以,又,
在中,,
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力和推理能力.
18. 【分析】(I)首先设出等差数列的公差,等比数列的公比,根据题意,列出方程组,求得,进而求得等差数列和等比数列的通项公式;
(II)根据题中所给的所满足的条件,将表示出来,之后应用分组求和法,结合等差数列的求和公式,以及错位相减法求和,最后求得结果.
【详解】(I)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
依题意,得,解得,
故,,
所以,的通项公式为,的通项公式为;
(II)



记 ①
则 ②
②①得,,
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,属于中档题目.
19. 【详解】(I)解:设椭圆的半焦距为,由已知有,
又由,消去得,解得,
所以,椭圆的离心率为.
(II)解:由(I)知,,故椭圆方程为,
由题意,,则直线的方程为,
点的坐标满足,消去并化简,得到,
解得,代入到的方程,解得,
因为点在轴的上方,所以,
由圆心在直线上,可设,因为,
且由(I)知,故,解得,
因为圆与轴相切,所以圆的半径为2,
又由圆与相切,得,解得,所以椭圆的方程为:.
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
20. 【分析】(I);首先写出函数的定义域,对函数求导,判断导数在对应区间上的符号,从而得到结果;(II)(i)对函数求导,确定函数的单调性,求得极值的符号,从而确定出函数的零点个数,得到结果;(ii)首先根据题意,列出方程组,借助于中介函数,证得结果.
【详解】(I)解:由已知,定义域为,
且,
因此当时,,从而,
所以在内单调递增.
(II)证明:(i)由(I)知,,
令,由,可知在内单调递减,
又,且,
故在内有唯一解,
从而在内有唯一解,不妨设为,
则,当时,,
所以在内单调递增;
当时,,
所以在内单调递减,
因此是的唯一极值点.
令,则当时,,故在内单调递减,
从而当时,,所以,
从而,
又因为,所以在内有唯一零点,
又在内有唯一零点1,从而,在内恰有两个零点.
(ii)由题意,,即,
从而,即,
以内当时,,又,故,
两边取对数,得,于是,整理得,
【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想、化归与转化思想,考查综合分析问题和解决问题的能力.

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